İstenmeyene Göğüs Gerenler : Filtreler – 1

Elektronik gibi ucu bucağı olmayan devasa bir alanda matematiğin önemi bir hayli büyük. Şunu söyleyebilirim ki matematiğin önemi elektroniğin kendisinden daha öte. Özellikle bir takım donanımları iyi bir şekilde analiz edebilmek için çok ciddi matematik bilgisine ihtiyaç duyuyoruz. Bu yazı dizisinde filtreleri ve onların matematiksel modellerini inceleyeceğiz. Bunun sebebi daha sonra yapmayı planladığım sinyal işleme, filtreleme gibi çalışmalar için iyi birer matematiksel altyapı oluşturabilmek. Mühendislik yolunda kat edeceğimiz çok fazla zorluk var. Ömür boyu bu karşılaşacağımız sorunlara akıllıca birer çözüm üretebilmek adına bu temelleri çok iyi inşa etmeli ve bir takım yapıları analiz etmeliyiz. O halde öncelikle alçak geçiren pasif filtreyi analiz ederek başlayalım.

1.Dereceden Pasif Alçak Geçiren Filtre

Bu filtrenin yapısına ezbere bildiğimiz formülüne bir bakalım.

$$f_{c} = \frac{1}{2 \pi RC}$$

Bu devreyi analiz edebilmek için bir kaç farklı yol bulunuyor. Ben buradaki bileşenlerin Laplace karşılıklarını yazarak ilerleyeceğim. İlk olarak Giriş gerilimini direnç ve kapasitör geriliminin toplamı olarak yazalım. Bu denklemde kapasitörün açılımını bildiğinizi varsayıyorum.

$$V_{in}(t) = i(t)\cdot R + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} i(u)du$$

Zaman düzleminde işimizi bitti artık Laplace Dönüşümü ile s domenine geçebiliriz. Eğer şimdi yazacağım denklemde integral yapısının kaybolmasını anlamadıysanız Laplace Dönüşümünün integral özelliğini inceleyin çünkü burada integral alma işlemi Laplace Dönüşümü ile $s$ ‘e bölünüyor. Bu özellik denklemin bel kemiğini oluşturuyor.

$$V_{in}(s) = I(s)\cdot R + \frac{I(s)}{sC}$$

$I(s)$ parantezine alarak ifadeyi düzenleyelim . Ayrıca $V_{out}$ yani çıkış geriliminin kapasitör gerilimine eşit olduğunu unutmayın.

$$V_{in}(s) = I(s)\cdot (R + \frac{1}{sC})$$

$$V_{out}(s) = \frac{I(s)}{sC}$$

Şimdi transfer fonksiyonun yazarak sadeleştirme yapalım.

$$\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{I(s)}{sC}}{I(s)\cdot (R + \frac{1}{sC})}$$

$$T(s) = \frac{1}{1+sRC}$$

 

Kazancın büyüklüğünü hesaplamadan önce $s = j\omega$ yazalım.

$$T(\omega) = \frac{1}{1+j \omega RC}$$

Artık kompleks düzlemde büyüklüğü bulabiliriz.

Bu adımdan transfer fonksiyonunun genliğini bulalım. Bu işlem şöyle tanımlanıyor.

$$\begin{align*} \textrm{Amplitude} =\left| X(j \omega)\right| &= \sqrt{X(j \omega) \cdot X^{\star}(j \omega)} & \\ \textrm{Complex Conjugate}=X^{\star}(j \omega) \end{align*}$$

İfadeyi eşleniği(Complex Conjugate) ile çarpıp karekökünü aldığımızda aşağıdaki ifadeyi buluruz.

$$\displaylines{\left| T(j \omega)\right| = \sqrt{T(j \omega) \cdot T^{\star}(j \omega)} \\ T(j \omega) = \frac{1}{1+j \omega RC} \\ T^{\star}(j \omega) = \frac{1}{1-j \omega RC} \\ \left| T(j \omega)\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{1+j \omega RC}\right) \cdot \left(\frac{1}{1-j \omega RC}\right)} \\ \left| T(j \omega)\right| = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}$$

 

Bir sonraki adım da bu ifadenin dB olarak karşılığını bulacağız. Burada sözle değil matematik ile anlatmak daha doğru olur. Anlaşılabilir olması adına her adımı düzenli olarak yazdım.

$$\left| \frac{V_{out}}{V_{in}}\right|_{dB}=20 \log\left| \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}}\right| \begin{cases} &\omega = \omega_{0} \end{cases}$$

$$=20 \log\left| \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}}\right)^{2}}}\right|$$

$$=-10 \log\left|2\right|$$

$$\cong -3dB$$

Ne işimiz var burada ? Neyse -3dB ezberini yıkmış olduk. Konumuza dönelim.

$$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

İlerleyebilmemiz için bu bilgiye ihtiyacımız vardı. İyi ki dB hesabını yapmışız. Yukarıdaki eşitliği daha önce bulmuştuk o halde Çıkış/Giriş oranını eşitleyerek devam edelim.

$$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$$

$$\begin{align*} 2 &=1+(\omega RC)^2 \\ 1 &=\omega^2R^2C^2 \\ \omega^2 &=\frac{1}{R^2C^2} \\ \omega &=\frac{1}{RC} \\ f &=\frac{1}{2\cdot \pi\cdot R \cdot C} \end{align*}$$

Evet her şey yolunda gözüküyor. Sanırım artık bu yapıya neden filtre(geçirmeyen) değil de “Göğüs Geren” dediğimi anladınız. Olay sadece bastırmaktan ibaret gibi duruyor. Peki ya yüksek geçiren filtre olsaydı ? Onu da size bırakıyorum. Bir sonraki yazı görüşmek üzere.

Esen kalın.