Aşağıdan Yukarı Atış Hareketi

Son zamanlarda ilgimi çeken konulardan biri olan atış hareketlerinin ispatları ile uğraşıyorum.Bu yazıda araştırdığım bir takım bilgileri paylaşacağım.Her ne kadar lisede bu formülleri ezberlesek de aslında işin çok harika bir boyuttan geldiğini bilmiyorduk.Özellikle Aşağıdan yukarı atış hareketinde İntegral ile karşılaşmak beni çok şaşırttı.

Bu konuda öğretilen ilk formül :

V = V0-g*t

Hazırsanız başlayalım !

Bildiğimiz üzere Newton Kanuna göre;

m*a = -m*g

Bu eşitlikte her 2 tarafıda m ye bölersek

a = -g

yi elde ederiz.

Burada a (acceleration) ivmedir.İvme hızın zamana göre değişimidir.

Bu sözel ifaedeyi

a = dV / dt

Diferansiyelleri ile gösteriyoruz.Buradaki dt = zamandaki değişimi gösteriyor peki hız nedir ?

Hız = yol / zaman

yani

V = dx / dt

dir.Buradan ivme ise;

d²x / dt²

olarak bulunur.Bu 2.mertebeden türev demektir.Peki bu diferansieller ile biraz oynarsak neler elde edebiliriz ona bakalım.(→ işareti “ise” anlamındadır.)

dV / dt = -g → dV = -g * dt

Şimdi bu diferansiyellerden integral alarak kurtulalım.Tabi eşitliği bozmamak için her iki tarafından integralini almalıyız.

∫ dV = ∫ -g * dt

Buradan sağ tarafta V sol kısımda ise -g sabit durumunda olduğundan -g*t elde ederiz.Tabi buradaki C sabitini unutmuyoruz.Bu sabite C1 diyelim.

V = -g * t + C1

Bu harekette t = 0 anında V = V0 olduğundan V0 = C1 olur.

V = -g * t + V0

Şimdi hiçbir şeyi bozmadan V0’ı biraz sola alalım

V = V0 – g * t

Şimdi bu ezberlediğimiz formülün nereden geldiğini biliyoruz.Artık bu formül ile aşağıdan yukarı doğru dikey olarak atılan bir cismin istediğimiz andaki(saniyedeki) hızını bulabiliyoruz.

İkinci olarak değinmek istediğim bir konu ise aşağıdan yukarı doğru atılan bir cismin herhangi bir saniyede ki yüksekliğinin bulunması.Bu formül ise şu şekilde;

h = V0 * t – 1/2 * g * t²

Buradaki h ile kafanız karışmasın bu h yani yükseklik bir uzunluk olduğundan bu formüllerdeki mesafeyi belirten x ile de gösterilebilir.Şimdi hızın diferansilleri ile oynama yapalım.

V = dx / dt

buradan x’i çekersek;

dx = V * dt

Eşitliği bozmadan yine 2 tarafında integralini alalım

∫ dx = ∫ V * dt

Şimdi burada integralleri çözmede önce ufak bir dönüşüm yapacağız.Yukarıda bahsettiğimiz gibi V nin aslında şöyle bir ifade olduğunu biliyoruz.

V = V0 – g * t

Bunu yerine yazalım.

∫ dx = ∫ (V0 – g * t ) * dt

Şimdi integralleri çözersek şunu elde ederiz.

x = V0 * t – g * t² / 2 + C2

Buradaki C2 sabiti ise t = o anında x = 0 olduğundan C2 = 0 olarak bulunur.Düzenlersek x in mesafe yani bir h olduğunu bildiğimize göre C2 de 0 olduğuna göre ifade şu şekilde sadeleşir.

h = V0 * t – g * t² * 1/2

Bu ispatıda tamamlandığımıza göre son olarak maksimum yüksekliğe çıkış süresini bulalım.Kitaplarda

t_max = V0 / g

Şeklinde geçiyor.Bir cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında bir anlık yani durur yükseli yükselir ve bir anlık hızı 0 olur.İşte biz hızın 0 olduğu noktaya bakacağız.Yine yukarıda ispatladığımız hız formülünde hıza 0 verirsek

0 = V0 – g * t

Buradan t yi çekersek;

t_max = V0 /  g

olacaktır buda bize maksimumu yüksekliğe çıkış süresini verecektir.İşte bu kadar basit ! Hatta bir düşünecek olursak bu atılan cisim aynı sürede aşağı düşeceğinden birde dönüşü vardır diyebiliriz.Biz bu formülü 2 ile hem gidiş hem dönüş süresinin toplamını bulmuş oluruz.Yani cismin uçuş süresini buluruz.

t_ucus = 2 * V0 / g

Artık uçuş süresini de bulabiliyoruz.Böylece konunun sonuna gelmiş olduk.Bu yazıda fizik dersinde öğrendiğimiz, daha doğrusu ezberlediğimiz bazı formüllerin aslında ne kadar basit bir dönüşüm ile ortaya çıkmış olduğunu gördük.Bu söylediklerimi toparlayacak olursam fizik ve matematikde kullanılan bir çok algoritma-yöntem-formül ve teorem lerin nasıl oluştuğunu bilmek gerçekten çok faydalıdır.Bu yüzden ileride mühendis yada fizikçi olmayı düşünen arkadaşlar oku-öğren değil, oku-düşün-öğren sıralamasını takip etmeli ve çok fazla şüpheci olamalıdırlar.Bir sonraki “Yukarıdan Aşağı Düşey Atış” konusunda görüşmek üzere.